What is happening is that you are making the request directly from the form, this can be done as long as the server makes a redirection. In this case, the most convenient thing is to make the request with JS, adding the following code to your page.

JS

async function submitHandler() {
  try {
    // Obtener los valores del formulario
    const checkOutEl = document.getElementsByName('checkOut')[0];
    const checkOut = checkOutEl.value;

    const idPasajeroEl = document.getElementsByName('idPasajero')[0];
    const idPasajero = idPasajeroEl.value;

    const pasajeroEl = document.getElementsByName('pasajero')[0];
    const pasajero = pasajeroEl.value;

    const emailEl = document.getElementsByName('email')[0];
    const email = emailEl.value;

    const nacionalidadEl = document.getElementsByName('nacionalidad')[0];
    const nacionalidad = nacionalidadEl.value;

    const cantPasEl = document.getElementsByName('cantPas')[0];
    const cantPas = cantPasEl.value;

    const tarifaEl = document.getElementsByName('tarifa')[0];
    const tarifa = tarifaEl.value;

    const observEl = document.getElementsByName('observ')[0];
    const observ = observEl.value;

    const roomEl = document.getElementsByName('room')[0];
    const room = roomEl.value;

    const checkInEl = document.getElementsByName('checkIn')[0];
    const checkIn = checkInEl.value;

    const habitacionIdEl = document.getElementsByName('habitacionId')[0];
    const habitacionId = habitacionIdEl.value;

  
    const formData = { checkOut, idPasajero, pasajero, email, nacionalidad, cantPas, tarifa, observ, room, checkIn, habitacionId };
  
    if (checkOut && idPasajero && pasajero && email && nacionalidad && cantPas && tarifa && observ && room && checkIn && habitacionId) {
      
      const url = '/api/post';
  
      const method = 'POST';
  
      const config = {
        method,
        headers: {
          'content-type': 'application/json',
        },
        body: JSON.stringify(formData),
      };
      // petición
      const response = await fetch(url, config);
      if (response) {
        // respuesta del servidor
        if (response.ok) {
          // obtener los datos de la respuesta
          const data = await response.json(); // puede ser .text(), .blob(), .arrayBuffer() o formData().
          // hacer algo con los datos ...

          // recargar página
          window.location.reload();

          // reiniciar valores del formulario, descomentar si no desea regarcar la página
          // checkOutEl.value = null;
          // idPasajeroEl.value = null;
          // pasajeroEl.value = null;
          // emailEl.value = null;
          // nacionalidadEl.value = null;
          // cantPasEl.value = null;
          // tarifaEl.value = null;
          // observEl.value = null;
          // roomEl.value = null;
          // checkInEl.value = null;
          // habitacionIdEl.value = null;
        }
      }
    } else {
      console.log('parametros no validos');
    }
  } catch (error) {
    console.error('submitHandler', error);
  }
}

HTML

<form onsubmit="event.preventDefault(); submitHandler()">
    <div className="booking-checkOut">
      <label>Check Out: </label>
      <input name="checkOut" type="date" required />
    </div>
    <div className="booking-pasajero">
      <input name="idPasajero" placeholder="Nro identificacion" />
      <input name="pasajero" placeholder="pasajero" required />
      <input name="email" type="email" placeholder="email" />
      <input name="nacionalidad" placeholder="nacionalidad" />
    </div>
    <div className="booking-booking">
      <p>Datos de la Reserva</p>
      <input type="number" name="cantPas" placeholder="Cantidad de Pasajeros" min="1" required />
      <input type="number" name="tarifa" placeholder="tarifa" step="0.01" min="10" required />
      <textarea name="observ" placeholder="Observaciones"></textarea>
    </div>
    <input type="hidden" name="room" value={props.data.roomNumb} />
    <input type="hidden" name="checkIn" value={props.data.checkIn} />
    <input type="hidden" name="habitacionId" value={props.data.roomID} />
    <button type="submit" className="modal-btn primary">Confirmar</button>
  </form>
  <button className="Modal-close" onClick={props.clickCerrar}></button>

to the button maybe you need to add e.preventDefault(); or maybe with the response from the server you need to do a validation on the client so that if it gives you the response you expect it can reload the page